Le "paradoxe" des jumeaux de Langevin

Le deuxième pseudo-paradoxe très connu de la théorie de la relativité a été discuté pendant beaucoup plus longtemps que celui du tunnel, même si une grande majorité des physiciens étaient persuadés dès les années 1910 de la validité de l'explication que je vais présenter maintenant et des prévisions expérimentales auxquelles elle conduit et qui se sont révélées exactes un demi-siècle plus tard.

Les données du problème

Imaginons-nous sur le point d'envoyer une vaisseau spatial faire un aller-retour vers l'étoile Proxima Centauri à la vitesse folle de 86% de la vitesse de la lumière.

Plaçons nous dans le référentiel de la Terre

Proxima est située à 4 années-lumières de la Terre. Un signal lumineux, représenté ici par un ovale jaune, mettra donc 4 ans à parcourir la distance. Un aller-retour du signal lumineux mettra donc 8 ans à s'effectuer. On peut ainsi synchroniser les horloges bleues par la méthode que nous avons étudiée dans ce chapitre précédent.

Comme notre vaisseau ne va qu'à 86% de la vitesse de la lumière, il mettra, lui, $\frac{8}{0.86} = 9.3$ années pour faire le trajet.

Mais comme à une vitesse pareille, le facteur de Lorentz est de 2, du fait du ralentissement des horloges en mouvement, à l'horloge du vaisseau, en rouge, il ne devrait s'être écoulé que la moitié de cette durée, soit 4.6 années.

Au moment où le vaisseau reviendra sur Terre, on aura donc un évènement parfaitement expérimentable, à savoir que l'horloge rouge devra marquer 4.6 années, alors que la bleue marquera 9.6 années.

Et bien sûr, il ne s'agit pas d'un phénomène étrange qui n'affecterait que les horloges. Un astronaute qui ferait ce voyage aurait vieilli de 4.6 années à son retour alors que son frère jumeau qui serait resté sur Terre aurait vieilli, lui, du double.

Plaçons nous dans le référentiel du vaisseau

Par symétrie, dans le référentiel du vaisseau, ça devrait être le contraire qui se produit, n'est-ce pas?

Vu du vaisseau, le vaisseau est immobile et c'est l'étoile Proxima qui doit être considérée comme se rapprochant de lui, avant de s'éloigner de nouveau. Ceci découle de la relativité galiléenne. Les mouvement inertiels sont indiscernables.

Au moment du retour, ce devrait donc être l'horloge bleue restée sur Terre, dont on considère qu'elle a fait un aller-retour, qui devrait marquer 4.6 années, alors que l'horloge rouge, restée immobile du point de vue du référentiel rouge, devrait marquer 9.6 années. Et donc, à l'inverse de la prévision de tout à l'heure, c'est maintenant le jumeau resté sur Terre qui devrait être plus jeune que celui qui était dans le vaisseau.

On se retrouve donc avec deux prévisions différentes pour un même évènement. Comme il n'y a pas d'évènements alternatifs en relativité, laquelle est la bonne?

C'est ce que nous allons élucider maintenant.

Un premier indice

Cette question a longtemps fait débat, pas tant dans les milieux scientifiques que dans le grand public et chez les philosophes qui s'intéressait à ces questions. En effet, pour les scientifiques, l'erreur de raisonnement dans le second cas est évidente: La relativité galiléenne ne s'applique que pour les mouvements "inertiels", autrement dit, rappelons-le «tout droit, toujours à la même vitesse et sans tourner»^[1].

Or notre vaisseau n'est pas dans un mouvement inertiel tout le temps. Au moment où il fait demi-tour, ou bien il tourne, ou bien il freine avant de repartir dans l'autre sens. Il doit donc se passer quelque chose de différent du point de vue rouge à ce moment là, et en effet, "spoiler", c'est bien là que se niche la clé de l'énigme.

Dans le référentiel de la Terre

Mais revenons pour commencer à la représentation^[2] des choses dans le référentiel de la Terre. Nous allons envoyer des signaux lumineux tous les ans en direction d'Alpha Centauri. Ils nous permettront tout à l'heure de mieux comprendre les choses.

Au bout de 4 années aux horloges bleues, considérées comme fixes dans le référentiel de la Terre, le premier des rayons lumineux, celui qui est parti au temps zéro, atteint Proxima Centauri et la Terre vient juste d'envoyer le cinquième. Le vaisseau, lui, comme il est un peu plus lent, n'y est pas encore arrivé. Le facteur de Lorentz étant de 2, son horloge de bord ne marque que deux années.

Au bout de 4.6 années, le vaisseau arrive sur Proxima Centauri. Son horloge marque 2.3 années. Il freine puis repart dans l'autre sens. Du point de vue de la Terre, ça ne change évidemment rien. Les horloges terrestres ne vont pas modifier leur comportement à cause de quelque chose qui se passe au voisinage d'une étoile lointaine.

Mais qu'en est-il de l'horloge du vaisseau rouge? Il se pourrait qu'elle se mette subitement à accélérer, comme pour rattraper le temps perdu? L'idée n'est pas idiote et je ne connais pas d'argument qui puisse vraiment la réfuter^[3]. Je crois d'ailleurs que c'est bien pour ça que les débats ont duré aussi longtemps, avant que l'expérience ne finisse par trancher. Mais, bon, on sait maintenant que ce n'est pas le cas. Un astronaute à bord du vaisseau ne verrait pas subitement son horloge accélérer au moment du demi-tour. De toute manière, comment pourrait-il voir une telle chose? Pour lui une seconde sera toujours une seconde. Si ce phénomène bizarre se produisait, l'astronaute ne pourrait pas le constater. Quoi qu'il en soit, l'expérience à montré qu'il ne se produit pas.

Remarquons qu'au moment du demi-tour, le deuxième signal lumineux, celui qui a été envoyé quand il s'était écoulé un an sur Terre, n'est toujours pas arrivé jusqu'au vaisseau. Le vaisseau va donc croiser tous les signaux lumineux envoyés après son départ pendant son trajet de retour.

Et au moment où il reviendra, comme nous l'avons vu, son horloge marquera 4.6 ans alors que celle de la Terre marquera 9.2 années.

Regardons tout ça en animation:

Dans le référentiel de la Terre, tout est très simple. Comme l'horloge du vaisseau va deux fois moins vite que celle de la Terre tout au long du voyage, elle marque une durée deux fois moindre à la fin.

Dans le référentiel du vaisseau

Regardons maintenant les choses dans le référentiel du vaisseau. Ça va être assez nettement plus compliqué.

Un référentiel du vaisseau erroné

Dans un premier temps, on pourrait s'imaginer pouvoir représenter les choses dans le référentiel du vaisseau comme ci-dessous. Mais c'est faux. Est-ce que vous voyez pourquoi? Prenez le temps d'y réfléchir avant de passer à la suite.

Vous avez trouvé? Il y a deux erreurs, bien sûr:

Le facteur de Lorentz est de 2. Si nous considérons que ce sont les étoiles qui se déplacent vers nous à 86% de la vitesse de la lumière, alors il faut diviser par deux la distance qui les sépare sur notre carte^[4].
Il faut tenir compte de la désynchronisation des horloges en mouvement: L'horloge qui est à l'arrière du mouvement doit marquer plus que celle qui est devant. Ici, on synchronise les horloges qui "se touchent" au moment du départ. Celle qui est sur Alpha Centauri doit donc marquer beaucoup plus afin que tout reste cohérent au moment où se produiront les évènements que nous allons calculer grâce à notre carte/référentiel.

Le référentiel corrigé

Voici la solution:

Tout d'abord, il fallait tenir compte de la contraction des longueurs. Le facteur de Lorentz étant de 2, la distance entre les deux étoiles, du point de vue du vaisseau, n'est que de 2 années-lumières. Ça veut dire bien sûr que la durée de leur trajet, mesurée avec les horloges du vaisseau, ne durera que 2 ans. Du même coup, j'ai aussi "comprimé" la Terre et l'étoile Proxima Centauri^[5].

De plus, j'ai tenu compte du décalage des horloges en mouvement. Celle qui est à côté de Proxima affiche déjà un peu plus de 3 ans. C'est indispensable pour la cohérence de notre référentiel.

J'en profite pour revenir ici sur ce décalage des horloges que nous avons étudié dans ce chapitre précédent:

Que se passera-t-il dans un an (à l'horloge du vaisseau)? La lumière aura parcouru la moitié de la distance. Mais Proxima, qui se rapproche de nous à 86% de la vitesse de la lumière, aura parcouru 86% du reste. Dans peu de temps, les deux se rejoindront.

Or nous savons que lorsque le signal lumineux atteindra Proxima, son horloge affichera 4 ans. C'est un évènement dans le référentiel de la Terre et il doit se produire à l'identique dans tous les référentiels. Autrement dit, dans un peu plus d'un an (toujours à l'horloge du vaisseau), quand le signal atteindra Proxima, son horloge devra afficher 4.

Mais souvenons-nous, l'horloge de Proxima, dans le référentiel du vaisseau, va deux fois moins vite que la nôtre. Quand il sera écoulé un peu plus d'un an dans notre référentiel à nous, il se sera écoulé un peu plus d'une demi-année sur Proxima. Pour que son horloge affiche 4 à ce moment là, il faut donc qu'elle affiche un peu moins de 3.5 "maintenant". "Maintenant" dans le référentiel du vaisseau bien sûr.

La disparition de la "simultanéité" est le fondement même de tout le reste en relativité restreinte. La contraction des longueurs et la "dilatation des temps" n'en sont que les conséquences.

Muni de ce référentiel corrigé, dont toutes les horloges sont bien positionnées et avec des distances des objets en mouvement divisées par deux, nous pouvons maintenant étudier le voyage aller dans le référentiel du vaisseau.

Voyage aller

Avec notre référentiel corrigé, à l'aller, tout se passe comme prévu. Le rayon lumineux arrive sur Proxima quand son horloge marque 4 ans. Un nouveau signal lumineux est envoyé depuis la Terre quand l'horloge de la Terre marque 1 an. Et notre vaisseau arrive Proxima quand son horloge marque 2.3 ans alors que l'horloge de Proxima marque 4.6 années. Tous les événements sont bien les mêmes dans les deux référentiels, et bien sûr la vitesse de la lumière est identique, 300000km/s, dans les deux référentiels.

Le moment de faire demi-tour est arrivé. Le vaisseau s'est retourné et il allume son moteur pour repartir dans l'autre sens.

Le moment du demi-tour

Ce moment du demi-tour est le moment crucial et, comme nous l'avions suggéré, la clé du "paradoxe".

En effet, pendant le demi-tour, notre vaisseau n'est plus dans un mouvement inertiel. Il va freiner puis ré-accélérer dans l'autre sens. Ça ne signifie pas, contrairement à ce qu'on entend parfois dire, que la relativité restreinte ne saurait pas rendre compte de ce genre de situation, bien au contraire. Mais ça signifie qu'en faisant demi-tour, nous allons devoir changer de référentiel.

Dans le référentiel de l'aller, l'horloge qui était à l'arrière du mouvement était celle de Proxima. Raison pour laquelle elle était en avance, dans le référentiel du vaisseau, sur celle de la Terre.

Mais dans le référentiel du retour, ça va être le contraire! L'horloge qui est à l'arrière du mouvement, désormais, c'est celle de la Terre. C'est donc elle qui sera en avance d'un peu plus de 3 ans sur celle de Proxima. La situation est exactement la même que celle que nous avions au tout début, sauf que, maintenant, nous allons dans l'autre sens, nous partons de Proxima pour aller vers la Terre.

Voyons ce que ça donne graphiquement:

Au niveau "local" c'est à dire à l'endroit où se trouve notre vaisseau, rien n'a changé. Le tout premier signal lumineux est toujours derrière lui, le second n'est pas encore arrivé jusqu'à lui, son horloge marque 2.3 années alors que celle de Proxima marque 4.6 années.

En revanche, ce qui change en apparence, c'est tout le reste. Le premier signal lumineux a l'air de s'être subitement rapproché, le second aussi, l'horloge de la Terre, marque désormais un peu plus de 8 années et surtout toute une série de signaux lumineux semblent être apparus comme par enchantement! Que s'est-il passé???

Vous vous souvenez de ce que je vous rabâche depuis le début? (S'il vous plait, dites-moi que oui! 🙏😇)

Les référentiels ne sont que des cartes. Ce qu'ils montrent à chaque endroit, ce sont des évènements, des faits réels, mais tout le reste ressemble à une chronophotographie.

Comme sur la chronophotographie notre référentiel relativiste montre des choses qui se sont produites à des moments différents. À quels moments différents? Ceux indiqués par les aiguilles des horloges, bien sûr!

Il est temps maintenant de représenter le voyage du retour.

Voyage retour

Maintenant que nous sommes munis du bon référentiel pour représenter le voyage de retour, tout va être aussi naturel qu'à l'aller.

Le vaisseau, qui va maintenant à la rencontre des signaux lumineux, va désormais les croiser de manière très rapprochée et, quand il arrivera sur Terre, il se sera bien écoulé 9.2 années sur Terre et seulement 4.6 dans le vaisseau.

Un mot de conclusion

Il n'y avait donc pas vraiment de "paradoxe" des jumeaux. Seulement, comme d'habitude, les effets très contre-intuitifs de la perte de la synchronisation et de la structure de l'espace-temps. En effet, ce qu'on oublie le plus souvent (et même toujours d'après mon expérience) quand on aborde ce sujet pour la première fois, c'est qu'il faut changer de référentiel, ce qui impose de changer la représentation des horloges, au moment du demi-tour.

Il ne s'est donc rien passé de mystérieux non plus à la suite de l'accélération. Si nous avions fait le tour de Proxima sans changer de vitesse, le résultat aurait été le même. Toute la clé du mystère, c'est que nous avons changé de référentiel. Et si ça nous semble tellement "fou", c'est tout simplement parce qu'à notre échelle, les effets de tout ceci sont tellement minuscules que nous ne les avons jamais expérimentés.

Mais bon, la théorie c'est bien, mais comme le disait Feynman, au bout du compte c'est l'expérience et elle seule qui tranche. Il faudra attendre 1971 et l'expérience de Hafele-Keating^[6], réalisée avec des avions et des horloges d'une précision extrême, pour que le débat soit définitivement tranché.

Pour aller plus loin

Paradoxe des jumeaux dans Wikipédia

Notes et références

↑ Si vous voyez à ce stade une difficulté supplémentaire qui pourrait survenir dans le cadre d'une trajectoire de la relativité générale, vous avez raison, mais pour le moment on ne traitera pas de ce cas particulier qui nécessiterait en effet un traitement différent et plus compliqué
↑ Je rappelle ici, au risque d'être un peu lourd, que les référentiels ne sont que des manières de se représenter l'espace et le temps. Au bout du compte, la seule chose qui soit expérimentable, ce sont les évènements. Les distances ne sont jamais des évènements, et les durées ne le deviennent que lorsque les deux horloges reviennent au même endroit, où on peut les comparer.
↑ Ce qui ne signifie pas qu'il n'y en ait pas!
↑ Ah oui, parce que je crois vous l'avoir déjà dit mais l'expérience m'a appris qu'il faut le répéter souvent: Les référentiels ne sont que des cartes, ils ne sont pas le "réel"! 😇😆
↑ Est-ce que ça veut dire qu'un éventuel astronaute les verrait comme ça? Non! Pour approfondir cette question, je conseille de consulter cet article de Wikipédia. Par ailleurs, du fait de la vitesse et de l'effet Doppler, la couleur des objets serait elle aussi très différente.
↑ expérience de Hafele-Keating sur Wikipédia